ما هي الوظيفة؟
الوظيفة هي التمثيل الرياضي للعلاقة التي تربط مجموعتين من العناصر. تسمى المجموعة الأولى ثابتة ، وتسمى المجموعة الثانية نقطة البداية. وبناءً على ذلك ، يرتبط العنصر “x” للمجموعة الأولى بعنصر واحد فقط من مجموعة. المجموعة الثانية ويمكننا الإشارة إليها بـ “p”.
كل دالة للمجموعة “x” والمجموعة “y” يمكن أن ترتبط بعناصر كلتا المجموعتين ، لكن كل دالة لها عنصر واحد فقط يمكن ربطها به.
ما هو تحليل الوظيفة أو التحليل الوظيفي؟
تحليل الوظيفة أو التحليل الوظيفي هو فرع من فروع الرياضيات الذي يتعامل مع دراسة فضاءات الوظائف ويتضمن دراسة الفراغات المتجهة (الفراغات) لأي عدد من الأبعاد.
يتضمن تحليل الوظيفة أيضًا فحص التحولات وفحص التبعيات (فحص المتغيرات) المحددة في مساحات الوظائف ، على سبيل المثال ، عن طريق حساب التغييرات.
تحليل الوظائف له تطبيقات مهمة في الفيزياء ، لا سيما ميكانيكا الكم والاقتصاد والتحسين.
بدأ تحليل الوظائف كنظام رياضي مستقل في أوائل القرن التاسع عشر وتم تأسيسه بالكامل في عشرينيات وثلاثينيات القرن الماضي بعد تطور الرياضيات الحديثة.
تأثر تطوير تحليل الوظائف بميكانيكا الكم ؛ لأن مفاهيمها الأساسية تحولت إلى عوامل خطية على مساحات أبعاد غير محدودة.
تحليل الوظيفة هو امتداد وتعميم للتحليل الرياضي التقليدي وله دور مهم في ترتيب وتوضيح العديد من مشاكله. يعتقد العديد من علماء الرياضيات أن التحليل الوظيفي هو نتيجة مزيج من الجبر والطوبولوجيا.
ومن أهم العلماء الذين ساعدوا في تطوير هذا النظام الرياضي: إيفار فريدهولم ، وديفيد فولترا ، وديفيد هيلبرت.
في العقود الثلاثة الأولى من القرن العشرين ، ظهرت العديد من النظريات الأساسية حول التحليل الوظيفي ، والتي أصبحت فيما بعد ركائز هذا النظام الرياضي.
أهمها:
- نظرية هان باناخ
- نظرية التقييد الموحدة
- نظرية الرسم البياني المغلقة
من بين أهم موضوعات تحليل الوظائف ما يلي:
- معايرة المساحات ومساحات باناخ.
- مساحات المنتجات العددية ومساحات هلبرت.
- منطقة باناخ.
- تغييرات الحساب.
مفهوم الفضاء في تحليل الوظيفة
في موضوع بحث تحليل الوظائف الخاص بنا ، سوف نتعرض لمفهوم مهم للفضاء الوظيفي. مساحة الوظيفة هي مجموعة من التطبيقات ذات خصائص معينة تنشأ من مجموعة معروفة X وتكون مستقرة في مجموعة معروفة Y.
يستخدم هذا التعيين في التحليل الوظيفي لوصف المساحات ذات الخصائص الخاصة في الرياضيات ، بما في ذلك المساحات الطوبولوجية أو المساحات المتجهة.
المجالات الأكثر عمومية التي تم تحليلها في تحليل الوظائف هي مساحات متجهية طوبولوجيا ، أو مسافات متجهية (خطية) في مجال الأرقام المركبة ، أو مساحات ناقلات طوبولوجية ، وهي أي مجال آخر مثل الأرقام المنطقية أو الأرقام الحقيقية.
يهتم تحليل الوظيفة بدراسة الفراغات ذات الأبعاد اللانهائية ، وهي مسافات ذات عدد لا حصر له من المتجهات المستقلة خطيًا.
أنواع المساحات التي يغطيها التحليل الوظيفي هي: مساحة LB ، وفضاء هيلبرت ، وفضاء باناخ.
تسمى المساحة التي تحتوي على منتج داخلي مساحة ما قبل هلبرت ، وهي حالة خاصة من الفضاء المعياري. إذا كانت هذه المساحة كاملة ، فإنها تسمى مساحة أو مساحة هلبرت ، وهي واحدة من أبسط المساحات.
يمكن نقل العديد من الهياكل ذات الأبعاد المحدودة إلى فضاءات هلبرت ، حيث تكتسب طابعًا تحليليًا.
فحص الوظائف في تحليل الوظائف
تعتبر دراسة الوظائف المستمرة والخطية أساسًا مهمًا في تحليل الوظائف ، وهناك ارتباط وثيق بين خصائصها وخصائص المساحة الأصلية.
نظرية التمثيل
في مقالتنا ، سنناقش نظرية التمثيل ، والتي تعد جانبًا مهمًا من جوانب تحليل الوظيفة.
- تعتبر نظرية التمثيل إحدى التقنيات القوية المستخدمة في الرياضيات بشكل عام وتحليل الوظائف بشكل خاص.
- تعني النظرية تمثيل كائنات رياضية مجردة بأشياء أبسط أو أكثر واقعية. على سبيل المثال ، يمكن تفسير النظرية الطيفية على أنها تمثل المتجه الذاتي بواسطة المشغل بضرب الوظائف القابلة للقياس لفئة معينة بواسطة الوسيطة.
تطبيقات تحليل الوظائف في الفيزياء الرياضية والنظرية (التحليل الوظيفي)
- يتم تطبيق النظرية الطيفية للمشغلين في جميع نظريات فيزياء الكم: في نظرية المجال الكمي وفي ميكانيكا الإحصاء الكمومي.
- يتم تطبيق النظرية الطيفية في دراسة نماذج النظام الديناميكي في الميكانيكا الكلاسيكية ، وفي دراسة المعادلات الخطية في الديناميكا المائية ، ومجالات جيبس وغيرها.
- يتم تطبيق نظرية التشتت في فيزياء الكم.
- يتم تطبيق جسيمات باناخ في نظرية المجال الكمي ، وخاصة في نظرية المجال البدهي.
- يتم تطبيق نظرية الاضطراب ، وهي أساسًا نظرية الاضطراب للمشغلين الخطيين ، في جميع مجالات الفيزياء الرياضية تقريبًا.
- يتم تطبيق تكامل الوظائف والقياسات في الفراغات الوظيفية في نظرية المجال الكمي البناءة وفي ميكانيكا الإحصاء الكمومي.
- تم تطبيق العديد من التمثيلات المتكاملة (نظرية ريس ، نظرية كيلين ميلمان ، نظرية شوك ، إلخ) في نظرية مجال الكم البصري والميكانيكا الإحصائية.
- يتم تطبيق مسافات المتجهات (هذه مسافات هيلبرت) في نظرية الكم والفيزياء الإحصائية.
- يتم تطبيق الوظائف المعممة في كل مكان في الفيزياء الرياضية كأداة تحليلية مهمة.
تطبيقات التحليل الوظيفي في الاقتصاد
دخلت الأساليب الكمية والرياضية في الاقتصاد منذ نشأته وخاصة في القرن التاسع عشر.
بدأ استخدام تحليل الوظائف أو التحليل الوظيفي في الثلاثينيات مع تطبيق البرمجة الخطية والتحسين.
من الرواد في تطبيق التحليل الوظيفي في الاقتصاد عالم الرياضيات الروسي ، ليونيد كانتروفيتش ، الحائز على جائزة نوبل في الاقتصاد.
تنزيل كتاب تحليل PDF
يمكنك معرفة المزيد حول البحث في تحليل الوظائف عن طريق تنزيل كتاب التحليل الوظيفي بتنسيق pdf مباشرة من هذا الرابط:
هنا